šeštų - aštuntų klasių Lietuvos moksleivių matematikos olimpiada, Šiauliai 2011

2011-04-18

6 klasė

Mokykla .................................................................................................................................

Vardas, pavardė ......................................................................................................................

1. Aplink stalą sėdi 25 mokiniai ir kiekvienas jų rankoje laiko po dvi kortas. Ant kiekvienos kortos užrašytas vienas iš skaičių 1,2,...,25 taip, kad kiekvienas skaičius pasikartoja lygiai du kartus. Po signalo, kiekvienas mokinys atiduoda vieną kortą su mažesniu skaičiumi savo kaimynui iš dešinės. Parodykite, kad kažkuriuo momentu vienas iš žaidėjų turės savo rankose dvi kortas su vienodais skaičiais.

2. Tarkime turime 32 skirtingo svorio akmenis. Tarkime turime balansuojančias svarstykles, kuriomis galima nustatyti, kuris iš dviejų sveriamų akmenų yra sunkesnis. Įrodykite, kad užtenka atlikti 35 svėrimus, jog išsiaiškinti, kuris iš akmenų yra sunkiausias, o kuris antras pagal sunkumą.

3. Ar galima sukarpyti dydžio stačiakampį į dydžio stačiakampius?

4. Tarkime turime krūvoje 2012 degtukų. Du žaidėjai vienas po kito ima iš krūvos 1, 2, 4, 8, 16, ... (dvejeto laipsnį) degtukų. Tas, kuris negali atlikti savo ėjimo, pralaimi. Kuris žaidėjas laimės, jei žais be klaidų.

šeštų - aštuntų klasių Lietuvos moksleivių matematikos olimpiada, Šiauliai 2011

2011-04-18

7 klasė

Mokykla .................................................................................................................................

Vardas, pavardė ......................................................................................................................

1. Aplink stalą sėdi 21 mokiniai ir kiekvienas jų rankoje laiko po dvi kortas. Ant kiekvienos kortos užrašytas vienas iš skaičių 1,2,...,21 taip, kad kiekvienas skaičius pasikartoja lygiai du kartus. Po signalo, kiekvienas mokinys atiduoda vieną kortą su mažesniu skaičiumi savo kaimynui iš dešinės. Įrodykite, kad kažkuriuo momentu vienas iš žaidėjų turės savo rankose dvi kortas su vienodais skaičiais.

2. Tarkime turime krūvoje 2011 degtukų. Du žaidėjai vienas po kito ima iš krūvos 1, 2, 4, 8, 16, ...

(dvejeto laipsnį) degtukų. Tas, kuris negali atlikti savo ėjimo, pralaimi. Kuris žaidėjas laimės, jei žais be klaidų.

3. Kam lygu , jei ?

4. Tarkime turime 64 skirtingo svorio akmenis. Tarkime turime balansuojančias svarstykles, kuriomis galima nustatyti, kuris iš dviejų sveriamų akmenų yra sunkesnis. Įrodykite, kad užtenka atlikti 68 svėrimus, jog išsiaiškinti, kuris iš akmenų yra sunkiausias, o kuris antras pagal sunkumą.

šeštų - aštuntų klasių Lietuvos moksleivių matematikos olimpiada, Šiauliai 2011

2011-04-18

8 klasė

Mokykla .................................................................................................................................

Vardas, pavardė ......................................................................................................................

1. Ant lentos užrašyta grupė (ne mažiau nei 2) skaičių, nelygių nuliui. Kiekviename žingsnyje, mokinys gali pasirinkti bet kuriuos du skaičius esančius lentoje. Pasirinkęs skaičius ir mokinys pakeičia juos ir . Parodykite, kad jokiame žingsnyje ant lentos nebegausime pradinių skaičių grupės.

2. Kam lygu , jei ?

3. Visos įmanomos skirtingos sekos sudarytos iš 3 skaitmenų, t.y. 000, 001, ..., 999, surašytos į vieną eilę, visai nesvarbu kokia tvarka. Taip jos sudaro vieną 3000-ženklį skaičių. Parodykite, kad šis skaičius dalus iš 37.

4. Ar galima dydžio stačiakampį sukarpyti į dydžio stačiakampius?